Por qué el mejor jugador aun así pierde tres juegos de cada diez — la varianza en backgammon

Un recorrido concreto de la varianza en backgammon: con qué frecuencia gana de verdad el mejor jugador un solo juego, cómo la longitud de la partida amplifica la habilidad, y qué dicen las matemáticas sobre las rachas de derrotas antes de que culpes a los dados.

Si has jugado al backgammon online más de una semana, has tenido este pensamiento: los dados están amañados.

Cinco gammons seguidos. El oponente saca doble-seis desde la barra contra tu tablero de cinco casillas. Tienes una ventaja de carrera del 80 % y pierdes contra cuatro dobletes seguidos. Rechazas el cubo en una posición que los bots luego dicen que era una aceptación, y tu oponente saca números perfectos para la salida todo el camino a casa. Por supuesto que los dados están amañados.

Casi con certeza, no lo están. Lo que sientes es varianza — el reparto ordinario y matemáticamente necesario de resultados en torno a un resultado esperado. El backgammon tiene más varianza que casi cualquier juego que sus jugadores serios llaman de «habilidad», y la desconexión entre lo hábiles que son los jugadores fuertes y con qué frecuencia aun así pierden es lo más desorientador del juego para quien llega desde el ajedrez, el póker, o cualquier otra competición que se sienta menos aleatoria.

Este artículo es un intento de nombrar las matemáticas tras esa sensación.

Los números de titular

Toma un jugador 60/40. Lo bastante hábil como para que, contra un oponente de club típico, esperaría ganar el 60 % de los juegos individuales. (Para situarlo en una escala: esto no es una ventaja pequeña. Una tasa de victoria de 60/40 es una brecha de ELO de varios cientos de puntos — claramente el jugador más fuerte.)

Ahora: ¿con qué frecuencia gana de verdad el favorito 60/40?

Un juego individual es una cara o cruz con el pulgar en la balanza. Dos jugadores de cada tres es el favorito — pero un jugador de cada tres es el desfavorito, y el desfavorito gana. Una partida a 25 puntos la acerca a la certeza, pero aun así pierdes una partida de cada quince frente a un jugador notablemente más débil, y a las matemáticas les da igual que fueras mejor esa noche.

Ahora repite la misma tabla para un oponente más realista — una ventaja 55/45:

Un jugador 55/45 que juega cien partidas a 7 hará algo así como 65 victorias, 35 derrotas. La mayor parte del mundo está en este régimen. La mayoría de las veces, el mejor jugador pierde una partida de cada tres.

Esto no es un problema de amaño. Esto es lo que el juego es.

Por qué la varianza del backgammon es tan pesada

Se apilan tres cosas.

Primero, cada turno es una tirada. El ajedrez solo tiene varianza de tus propios errores — un jugador perfecto contra un jugador perfecto tiene cero varianza. El backgammon tiene varianza incluso entre dos jugadores perfectos, porque las tiradas son aleatorias. Un jugador perfecto que saca 1-2 en la apertura pierde equity al instante frente a un jugador perfecto que saca 6-5. Los dados toman decisiones con las que ambos tenéis que vivir.

Segundo, el reparto por tirada es enorme. Cada turno es una de 21 tiradas distintas (15 no dobles más 6 dobles), y las diferencias de equity entre ellas no son pequeñas. Un doble-seis en el turno adecuado vale quizás un 15 % de equity de victoria por sí solo. Un 1-2 en algunas posiciones vale menos que nada — te hace perder tempo y expone tiros. No hay movimiento de ajedrez que haga girar un 15 % por sí solo.

Tercero, el cubo lo multiplica. Un cubo de doblar no cambia la probabilidad de que ganes el juego; cambia las apuestas de cada juego. Un jugador 60/40 que juega sin cubo gana dinero a +20 % por juego. El mismo jugador jugando cubo óptimo gana más rápido — pero cada juego es ahora más ruidoso. Un juego perdedor con el cubo en 4 cuesta cuatro veces lo que cuesta un juego sin doblar. La varianza escala con las apuestas.

Estas tres fuerzas — tiradas aleatorias, gran reparto por tirada, y el cubo — se combinan para dar al backgammon una relación varianza-sobre-habilidad que sorprende a todos la primera vez que lo toman en serio. El juego fuerte gana a la larga. A la larga es más largo que la paciencia de la mayoría.

Qué significa esto para las rachas de derrotas

Las matemáticas también te dicen qué esperar cuando vas perdiendo.

Un jugador 55/45 tiene aproximadamente un 6 % de probabilidad de perder 5 partidas concretas seguidas. A lo largo de cien partidas, verás una racha de cinco derrotas más a menudo que no — alrededor del 60 % de los jugadores tocará una en algún punto de la serie. Una racha de siete derrotas aparece alrededor del 1 % de las veces por punto de partida pero, de nuevo, a lo largo de cien partidas la probabilidad de que te topes con una es significativa.

Si te sientas y juegas 100 juegos de backgammon como jugador 55/45, las matemáticas dicen:

• Ganarás de 53 a 57. (Una desviación estándar. El rango del 95 % es más o menos de 45 a 65.)
• Tocarás al menos una racha de 5 derrotas seguidas.
• Tocarás al menos una racha de 4 victorias seguidas.
• Terminarás, con una probabilidad de alrededor de 1 entre 6, por debajo del 50 % aunque seas el mejor jugador.

Los dados no están amañados. Las matemáticas sí.

El cubo es un amplificador de varianza (y un amplificador de habilidad)

Aquí es donde se pone interesante. En una partida de dinero entre pares, puedes elegir cuánta varianza asumes según lo agresivamente que juegues el cubo. Un cubo asustado — no doblar nunca a menos que estés al 80 % — sangra equity hacia tu oponente. Un cubo agresivo — doblar en los puntos de aceptación adecuados — extrae la máxima equity pero convierte cada juego en un vaivén más ruidoso.

La jugada correcta es el cubo agresivo, y una muestra lo bastante larga para distinguir la habilidad del ruido. La jugada incorrecta es jugar partidas cortas contra gente que sabes más débil y decidir en el juego 30 que estás corriendo mal.

El artículo sobre el cubo profundiza en la mecánica real del cubo. La cuestión aquí es más estrecha: cuando entiendes el cubo, entiendes que juegos más grandes, vaivenes más grandes y más expresión de habilidad son la misma cosa. No puedes tener uno sin los otros.

«¿Pero y si de verdad está amañado?»

Has leído hasta aquí y todavía podrías sospechar de los dados. Las plataformas online han dado, históricamente, a los jugadores razones para sospechar — desde implementaciones descuidadas de RNG hasta trampas descaradas en unos pocos casos documentados. La sospecha es racional; la pregunta es qué puedes hacer de verdad al respecto.

En 6proclub, la respuesta es: vuelve a derivar cada tirada tú mismo.

Cada tirada de dados de la plataforma se genera mediante un protocolo commit-reveal público. Antes de cada juego, el servidor se compromete a una semilla aleatoria publicando SHA-256(seed) — un hash de un solo sentido. Tu cliente aporta también su propia semilla aleatoria. Cada tirada se deriva de SHA-512(server-seed : client-seed : turn : roll-index), y el servidor revela su semilla al final del juego. Puedes recalcular cada tirada tú mismo.

Ofrecemos una herramienta para ello. Abre el verificador de tiradas, pega las semillas y compromisos de cualquier juego terminado, y la herramienta volverá a derivar los dados en tu navegador con crypto.subtle.digest() — la misma primitiva que usa tu banco. Si los dados recalculados coinciden con los dados que jugaste, las tiradas no se tocaron. Si no coinciden, algo va mal. Hasta ahora siempre coinciden — y si alguna vez no lo hacen, puedes probarlo sin nuestra cooperación.

La mayoría de las veces que sospechas de los dados, las matemáticas son las responsables. Pero no tienes que creerlo a ciegas.

La conclusión estratégica

Si recuerdas tres cosas:

1. La varianza es pesada en backgammon. El mejor jugador pierde el 30-40 % de los juegos individuales, lo que se siente amañado pero son solo dados.
2. La longitud de la partida es la longitud de la señal. Una partida a 25 puntos es fiable. Un juego individual no lo es. Construye tu clasificación, tu partida de dinero y tu impresión de un oponente a lo largo de muchas partidas, no una.
3. El cubo es el precio de la expresión de la habilidad. También amplifica los vaivenes a corto plazo. Asume los vaivenes, asume la ventaja, y confía en la muestra más larga.

Pierde, luego juega otra. Pierde otra vez, luego juega otra. Tras suficientes juegos, las matemáticas ganan. Ese es el único trato que ofrece el backgammon, y es el único trato que merece la pena aceptar.

→ ¿Quieres verificar los dados de tu último juego? Abre el verificador de tiradas.