Pourquoi le meilleur joueur perd quand même trois parties sur dix — la variance au backgammon

Un tour concret de la variance au backgammon : à quelle fréquence le meilleur joueur gagne réellement une seule partie, comment la longueur du match amplifie l'adresse, et ce que disent les maths sur les séries de défaites avant que vous n'accusiez les dés.

Si vous avez joué au backgammon en ligne plus d'une semaine, vous avez eu cette pensée : les dés sont truqués.

Cinq gammons d'affilée. L'adversaire lance double-six depuis la barre contre votre jan à cinq flèches. Vous avez une avance de course de 80 % et vous perdez contre quatre doublets d'affilée. Vous refusez le videau sur une position que les bots disent ensuite être une acceptation, et votre adversaire lance des numéros parfaits pour la sortie tout jusqu'à la maison. Bien sûr que les dés sont truqués.

Presque certainement, ils ne le sont pas. Ce que vous ressentez, c'est la variance — l'étalement ordinaire et mathématiquement nécessaire des résultats autour d'un résultat espéré. Le backgammon a plus de variance que presque tout jeu que ses joueurs sérieux qualifient de jeu « d'adresse », et le décalage entre à quel point les forts joueurs sont adroits et à quelle fréquence ils perdent quand même est la chose la plus désorientante du jeu pour quiconque y vient des échecs, du poker, ou de toute autre compétition qui semble moins aléatoire.

Cet article est une tentative de nommer les maths derrière ce ressenti.

Les chiffres en titre

Prenez un joueur 60/40. Assez adroit pour qu'contre un adversaire de club typique, il s'attende à gagner 60 % des parties simples. (Pour situer sur une échelle : ce n'est pas un petit avantage. Un taux de victoire de 60/40 est un écart d'ELO de plusieurs centaines de points — clairement le joueur le plus fort.)

Maintenant : à quelle fréquence le favori 60/40 gagne-t-il réellement ?

Une partie simple est un pile-ou-face avec le pouce sur la balance. Deux joueurs sur trois est le favori — mais un joueur sur trois est l'outsider, et l'outsider gagne. Un match à 25 points le rapproche de la certitude, mais vous laissez encore un match sur quinze face à un joueur nettement plus faible, et les maths se moquent que vous ayez été meilleur ce soir-là.

Maintenant, refaites la même table pour un adversaire plus réaliste — un avantage 55/45 :

Un joueur 55/45 qui joue cent matchs à 7 fera quelque chose comme 65 victoires, 35 défaites. La plus grande partie du monde est dans ce régime. La plupart du temps, le meilleur joueur perd un match sur trois.

Ce n'est pas un problème de truquage. C'est ce qu'est le jeu.

Pourquoi la variance du backgammon est si lourde

Trois choses s'empilent.

D'abord, chaque tour est un lancer. Les échecs n'ont de variance que de vos propres erreurs — un joueur parfait contre un joueur parfait a zéro variance. Le backgammon a de la variance même entre deux joueurs parfaits, car les lancers sont aléatoires. Un joueur parfait qui lance 1-2 à l'ouverture perd de l'équité instantanément face à un joueur parfait qui lance 6-5. Les dés prennent des décisions avec lesquelles vous devez tous deux vivre.

Ensuite, l'étalement par lancer est énorme. Chaque tour est l'un de 21 lancers distincts (15 non doubles plus 6 doubles), et les différences d'équité entre eux ne sont pas petites. Un double-six au bon tour vaut peut-être 15 % d'équité de gain de partie à lui seul. Un 1-2 dans certaines positions vaut moins que rien — il vous fait perdre du tempo et expose des cibles. Il n'existe aucun coup d'échecs qui fait basculer 15 % à lui seul.

Enfin, le videau le multiplie. Un videau ne change pas la probabilité que vous gagniez la partie ; il change les enjeux de chaque partie. Un joueur 60/40 qui joue sans videau gagne de l'argent à +20 % par partie. Le même joueur jouant un videau optimal gagne plus vite — mais chaque partie est maintenant plus bruyante. Une partie perdante avec le videau à 4 coûte quatre fois ce que coûte une partie non doublée. La variance s'ajuste aux enjeux.

Ces trois forces — lancers aléatoires, grand étalement par lancer, et le videau — se combinent pour donner au backgammon un ratio variance-sur-adresse qui surprend tout le monde la première fois qu'on le prend au sérieux. Le jeu fort gagne à terme. À terme est plus long que la patience de la plupart des gens.

Ce que cela signifie pour les séries de défaites

Les maths vous disent aussi à quoi vous attendre quand vous perdez.

Un joueur 55/45 a environ 6 % de chances de perdre 5 matchs spécifiques d'affilée. Sur cent matchs, vous verrez une série de cinq défaites plus souvent qu'autrement — environ 60 % des joueurs en toucheront une quelque part dans la série. Une série de sept défaites survient environ 1 % du temps par point de départ mais, encore une fois, sur cent matchs, la chance d'en rencontrer une est significative.

Si vous vous asseyez et jouez 100 parties de backgammon en joueur 55/45, les maths disent :

• Vous en gagnerez 53 à 57. (Un écart-type. La plage à 95 % est à peu près 45 à 65.)
• Vous toucherez au moins une série de 5 défaites d'affilée.
• Vous toucherez au moins une série de 4 victoires d'affilée.
• Vous finirez, avec une probabilité d'environ 1 sur 6, en dessous de 50 % même si vous êtes le meilleur joueur.

Les dés ne sont pas truqués. Les maths le sont.

Le videau est un amplificateur de variance (et un amplificateur d'adresse)

C'est ici que ça devient intéressant. Dans une partie d'argent pair-à-pair, vous pouvez choisir la variance que vous prenez par l'agressivité de votre jeu au videau. Un videau craintif — ne jamais doubler sauf à 80 % — saigne de l'équité vers votre adversaire. Un videau agressif — doubler aux bons points d'acceptation — extrait le maximum d'équité mais transforme chaque partie en une oscillation plus bruyante.

Le bon coup, c'est le videau agressif, et un échantillon assez long pour distinguer l'adresse du bruit. Le mauvais coup, c'est de jouer des matchs courts contre des gens que vous savez plus faibles et de décider à la partie 30 que vous courez mal.

L'article sur le videau approfondit la mécanique réelle du videau. L'idée ici est plus étroite : quand vous comprenez le videau, vous comprenez que des parties plus grandes, des oscillations plus grandes et plus d'expression d'adresse sont la même chose. Vous ne pouvez pas avoir l'une sans les autres.

« Mais et si c'est vraiment truqué ? »

Vous avez lu jusqu'ici et vous pourriez encore soupçonner les dés. Les plateformes en ligne ont, historiquement, donné aux joueurs des raisons d'être soupçonneux — des implémentations bâclées de RNG jusqu'à la triche pure dans quelques cas documentés. Le soupçon est rationnel ; la question est ce que vous pouvez réellement y faire.

Sur 6proclub, la réponse est : redérivez chaque lancer vous-même.

Chaque lancer de dés de la plateforme est généré par un protocole commit-reveal public. Avant chaque partie, le serveur s'engage sur une graine aléatoire en publiant SHA-256(seed) — un hachage à sens unique. Votre client contribue aussi sa propre graine aléatoire. Chaque lancer est dérivé de SHA-512(server-seed : client-seed : turn : roll-index), et le serveur révèle sa graine à la fin de la partie. Vous pouvez recalculer chaque lancer vous-même.

Nous fournissons un outil pour cela. Ouvrez le vérificateur de lancers, collez les graines et engagements de n'importe quelle partie terminée, et l'outil redérivera les dés dans votre navigateur avec crypto.subtle.digest() — la même primitive que votre banque utilise. Si les dés recalculés correspondent aux dés que vous avez joués, les lancers n'ont pas été touchés. S'ils ne correspondent pas, quelque chose ne va pas. Jusqu'ici ils correspondent toujours — et s'ils ne le font jamais, vous pouvez le prouver sans notre coopération.

La plupart du temps où vous soupçonnez les dés, les maths sont responsables. Mais vous n'avez pas à le croire sur parole.

L'enseignement stratégique

Si vous retenez trois choses :

1. La variance est lourde au backgammon. Le meilleur joueur perd 30 à 40 % des parties simples, ce qui semble truqué mais n'est que les dés.
2. La longueur du match est la longueur du signal. Un match à 25 points est fiable. Une partie simple ne l'est pas. Bâtissez votre classement, votre partie d'argent et votre impression d'un adversaire sur de nombreux matchs, pas un seul.
3. Le videau est le prix de l'expression de l'adresse. Il amplifie aussi les oscillations à court terme. Prenez les oscillations, prenez l'avantage, et faites confiance à l'échantillon plus long.

Perdez, puis rejouez. Perdez encore, puis rejouez. Après assez de parties, les maths gagnent. C'est le seul deal que le backgammon offre, et c'est le seul deal qui vaille la peine d'être pris.

→ Envie de vérifier les dés de votre dernière partie ? Ouvrez le vérificateur de lancers.